Hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm nào?

Đồ thị đã cho có đường tiệm cận đứng là đường thẳng nào?

Đáp án: 21

Hướng dẫn giải:

- Thực hiện phép chia đa thức ở tử số cho mẫu số để tìm đường tiệm cận xiên:

\[ y = \frac{2x^2 - x + 3}{x + 1} = \frac{2x(x + 1) - 3(x + 1) + 6}{x + 1} = 2x - 3 + \frac{6}{x + 1} \]

- Vì \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{6}{x + 1} = 0\), nên đồ thị hàm số có một đường tiệm cận xiên là \(y = 2x - 3\).

- Từ đó, đối chiếu với phương trình \(y = ax + b\), ta xác định được hệ số:

\[ a = 2 \quad \text{và} \quad b = -3 \]

- Thay giá trị của \(a\) và \(b\) vào biểu thức \(T\), ta có:

\[ T = 3a - 5b = 3 \cdot 2 - 5 \cdot (-3) = 6 + 15 = 21 \]

Đáp án: 0

Hướng dẫn giải:

- Ta có đạo hàm của hàm số:

\[ y' = 3x^2 + 2bx \]

- Vì \(M(2; -3)\) là một điểm cực trị của đồ thị hàm số nên tọa độ của \(M\) thỏa mãn hệ phương trình:

\[ \begin{cases} y'(2) = 0 \\ y(2) = -3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3 \cdot 2^2 + 2b \cdot 2 = 0 \\ 2^3 + b \cdot 2^2 + c = -3 \end{cases} \]

- Giải hệ phương trình trên:

\[ \begin{cases} 12 + 4b = 0 \\ 8 + 4b + c = -3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b = -3 \\ 8 + 4 \cdot (-3) + c = -3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b = -3 \\ c = 1 \end{cases} \]

- Thay giá trị của \(b\) và \(c\) vào biểu thức \(T\), ta được:

\[ T = b + 3c = -3 + 3 \cdot 1 = 0 \]

Đáp án: 7.3

Hướng dẫn giải:

- Xác định giá trị đại diện \(x_i\) cho từng nhóm số liệu:

+ Nhóm \([19; 21)\) có \(x_1 = 20\)

+ Nhóm \([21; 23)\) có \(x_2 = 22\)

+ Nhóm \([23; 25)\) có \(x_3 = 24\)

+ Nhóm \([25; 27)\) có \(x_4 = 26\)

+ Nhóm \([27; 29]\) có \(x_5 = 28\)

- Tính số trung bình cộng \(\bar{x}\):

\[ \bar{x} = \frac{5 \cdot 20 + 4 \cdot 22 + 10 \cdot 24 + 7 \cdot 26 + 9 \cdot 28}{35} = \frac{862}{35} \approx 24.63 \]

- Tính phương sai \(s^2\):

\[ s^2 = \frac{1}{35}\left(5 \cdot 20^2 + 4 \cdot 22^2 + 10 \cdot 24^2 + 7 \cdot 26^2 + 9 \cdot 28^2\right) - \bar{x}^2 \]

\[ s^2 = \frac{21484}{35} - \left(\frac{862}{35}\right)^2 = \frac{8896}{1225} \approx 7.26 \]

- Làm tròn đến hàng phần chục ta được kết quả là: **7.3**

Đáp án: 5.0

Hướng dẫn giải:

- Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với gốc \(O\) trùng với địa điểm xuất phát trên mặt đất:

+ Trục \(Ox\) hướng về phía Đông.

+ Trục \(Oy\) hướng về phía Bắc.

+ Trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời (vuông góc với mặt đất).

- Khi đó, tọa độ của hai khinh khí cầu lần lượt là:

+ Khinh khí cầu thứ nhất \(A(3; -2; 0,4)\) (vì cách xuất phát \(3\text{ km}\) về phía Đông và \(2\text{ km}\) về phía Nam).

+ Khinh khí cầu thứ hai \(B(-1; 1; 0,3)\) (vì cách xuất phát \(1\text{ km}\) về phía Tây và \(1\text{ km}\) về phía Bắc).

- Người quan sát đứng tại điểm \(M(x; y; 0)\) trên mặt đất (mặt phẳng \(Oxy\)).

- Tổng khoảng cách từ \(M\) đến hai khinh khí cầu là \(MA + MB\).

- Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua mặt phẳng \((Oxy)\), ta có \(A'(3; -2; -0,4)\). Khi đó \(MA = MA'\).

- Do đó, \(MA + MB = MA' + MB \geq A'B\).

- Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(M\) là giao điểm của đoạn thẳng \(A'B\) với mặt phẳng \((Oxy)\).

- Độ dài đoạn thẳng \(A'B\) được tính bằng công thức:

\[ A'B = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (1 - (-2))^2 + (0,3 - (-0,4))^2} \]

\[ A'B = \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + 0,7^2} = \sqrt{16 + 9 + 0,49} = \sqrt{25,49} \approx 5,0487\text{ km} \]

- Làm tròn kết quả đến hàng phần chục ta được: **5.0**

Đáp án: 5.11

Hướng dẫn giải:

- Tổng số thanh niên được khảo sát là:

\[ n = 10 + 26 + 32 + 25 + 7 = 100 \]

- Tìm tứ phân vị thứ nhất \(Q_1\):

+ Vị trí của \(Q_1\) là \(\frac{n}{4} = 25\). Do nhóm tích lũy đầu tiên chứa vị trí 25 là nhóm \([22; 25)\) (vì \(10 < 25 \leq 36\)).

+ Công thức: \[ Q_1 = 22 + \frac{25 - 10}{26} \cdot (25 - 22) = 22 + \frac{45}{26} \approx 23.73 \]

- Tìm tứ phân vị thứ ba \(Q_3\):

+ Vị trí của \(Q_3\) là \(\frac{3n}{4} = 75\). Do nhóm tích lũy chứa vị trí 75 là nhóm \([28; 31)\) (vì tích lũy đến nhóm trước là \(10 + 26 + 32 = 68 < 75\)).

+ Công thức: \[ Q_3 = 28 + \frac{75 - 68}{25} \cdot (31 - 28) = 28 + \frac{21}{25} = 28.84 \]

- Tính khoảng tứ phân vị \(\Delta_Q\):

\[ \Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 28.84 - \left(22 + \frac{45}{26}\right) = \frac{3121}{650} \approx 5,11 \]

Đáp án: 1940

Hướng dẫn giải:

- Tìm vectơ \(\overrightarrow{AB}\) ứng với quãng đường bay được trong 10 phút đầu:

\[ \overrightarrow{AB} = (950 - 850; 790 - 770; 17 - 15) = (100; 20; 2) \]

- Vì tốc độ và hướng bay không đổi, quãng đường máy bay đi trong 15 phút tiếp theo (từ \(B\) đến \(C\)) sẽ gấp \(\frac{15}{10} = 1,5\) lần quãng đường đi trong 10 phút đầu:

\[ \overrightarrow{BC} = 1,5 \cdot \overrightarrow{AB} = 1,5 \cdot (100; 20; 2) = (150; 30; 3) \]

- Từ đó, tính tọa độ điểm \(C(x; y; z)\):

\[ \begin{cases} x = 950 + 150 = 1100 \\ y = 790 + 30 = 820 \\ z = 17 + 3 = 20 \end{cases} \Rightarrow C(1100; 820; 20) \]

- Tính giá trị biểu thức \(x + y + z\):

x + y + z = 1100 + 820 + 20 = 1940

Đáp án: 37,3

Hướng dẫn giải:

- Đặt đoạn thẳng \(OP = x\text{ (km)}\) với \(0 \leq x \leq 4\).

- Khi đó, khoảng cách anh Bình chạy bộ trên bờ từ \(P\) đến \(B\) là: \(PB = 4 - x\text{ (km)}\).

- Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông \(AOP\), quãng đường chèo thuyền trên sông là:

\[ AP = \sqrt{OA^2 + OP^2} = \sqrt{2^2 + x^2} = \sqrt{x^2 + 4}\text{ (km)} \]

- Hàm số biểu diễn tổng thời gian di chuyển (tính bằng giờ) từ \(A\) đến \(B\) là:

\[ t(x) = \frac{AP}{v_1} + \frac{PB}{v_2} = \frac{\sqrt{x^2 + 4}}{6} + \frac{4 - x}{12} \]

- Tính đạo hàm của hàm số \(t(x)\):

\[ t'(x) = \frac{x}{6\sqrt{x^2 + 4}} - \frac{1}{12} \]

- Tìm nghiệm của phương trình \(t'(x) = 0\):

\[ \frac{x}{6\sqrt{x^2 + 4}} = \frac{1}{12} \Rightarrow 2x = \sqrt{x^2 + 4} \Rightarrow 4x^2 = x^2 + 4 \Rightarrow 3x^2 = 4 \Rightarrow x = \frac{2}{\sqrt{3}}\text{ (km)} \]

- Tính giá trị tại các điểm biên và điểm cực trị để tìm thời gian nhỏ nhất:

+ \(t(0) = \frac{2}{6} + \frac{4}{12} = \frac{2}{3}\text{ giờ} = 40\text{ phút}\).

+ \(t(4) = \frac{\sqrt{20}}{6} \approx 0,745\text{ giờ} \approx 44,7\text{ phút}\).

+ \(t\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\sqrt{\frac{4}{3} + 4}}{6} + \frac{4 - \frac{2}{\sqrt{3}}}{12} = \frac{\frac{4}{\sqrt{3}}}{6} + \frac{4 - \frac{2}{\sqrt{3}}}{12} = \frac{4}{12} + \frac{2}{6\sqrt{3}} = \frac{2}{6} + \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{2 + \sqrt{3}}{6}\text{ giờ}\).

- Đổi sang đơn vị phút:

\[ t_{\text{min}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{6} \cdot 60 = \frac{10(2 + \sqrt{3})}{1} \approx 37,32\text{ phút} \]

*(Lưu ý: Nếu đề bài yêu cầu làm tròn đến hàng đơn vị thì đáp án là **37,3**).*